Álgebra lineal Ejemplos

$- 16 x^{2} + y^{2} - 32 x - 14 y + 17 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 14$ y $c = - 16 x^{2} - 32 x + 17$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Resta $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.4

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Resta $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.3

Factoriza $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Resta $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Paso 8.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Paso 8.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Paso 8.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Paso 8.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Paso 8.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i$

Paso 8.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Paso 8.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Paso 8.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i$

Paso 8.7

Identifica el coeficiente principal.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{2}$

Paso 8.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 8.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{2} + 2 x + 2$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 9

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 10