Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{49}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Resta $\frac{x^{2}}{49}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $9 (- \frac{x^{2}}{49})$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

Paso 4.2.1.3.2

Combina $- 9$ y $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

Paso 4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ .

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Paso 6.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 6.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Paso 6.1.2

Reescribe $\frac{9 x^{2}}{49}$ como ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = \frac{3 x}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.4

Combina $3$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.6

Factoriza $3$ de $3 \cdot 7 + 3 x$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.6.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.6.3

Factoriza $3$ de $3 (7) + 3 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.7

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.8

Combina $3$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Paso 6.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

Paso 6.10

Factoriza $3$ de $3 \cdot 7 - 3 x$ .

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Paso 6.10.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

Paso 6.10.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

Paso 6.10.3

Factoriza $3$ de $3 (7) + 3 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

Paso 6.11

Multiplica $\frac{3 (7 + x)}{7}$ por $\frac{3 (7 - x)}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

Paso 6.12

Multiplica.

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Paso 6.12.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

Paso 6.12.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

Paso 6.13

Reescribe $\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ como ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ .

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Paso 6.13.1

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 (7 + x) (7 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

Paso 6.13.2

Factoriza la potencia perfecta $7^{2}$ de $49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

Paso 6.14

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Paso 6.15

Combina $\frac{3}{7}$ y $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Paso 9.2

Establece $7 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.1

Establece $7 + x$ igual a $0$ .

$7 + x = 0$

Paso 9.2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 9.3

Establece $7 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.3.1

Establece $7 - x$ igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Paso 9.3.2

Resuelve $7 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 7$

Paso 9.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 9.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 9.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 9.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.2.2.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Paso 9.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 7, 7$

Paso 9.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Paso 9.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 9.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Paso 9.6.1.3

$- 51$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Paso 9.6.2.3

$49$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 9.6.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Paso 9.6.3.3

$- 51$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 9.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 7 \leq x \leq 7$

Paso 10

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Paso 11