Álgebra lineal Ejemplos

$p^{2} + 2 q^{2} = 11$

Paso 1

Resta $2 q^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$p^{2} = 11 - 2 q^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Paso 3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Paso 4

Establece el radicando en $\sqrt{11 - 2 q^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$11 - 2 q^{2} \geq 0$

Paso 5

Resuelve $q$

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Paso 5.1

Resta $11$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 q^{2} \geq - 11$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 2 q^{2} \geq - 11$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término de $- 2 q^{2} \geq - 11$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $q^{2}$ por $1$ .

$q^{2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$q^{2} \leq \frac{11}{2}$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{q^{2}} \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| q | \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $\sqrt{\frac{11}{2}}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{2}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.4.2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 5.4.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 5.4.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.4.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.4.2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.4.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.4.2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 5.4.2.1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11 \cdot 2}}{2}$

Paso 5.4.2.1.4.2

Multiplica $11$ por $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.5

Escribe $| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$q \geq 0$

Paso 5.5.2

En la parte donde $q$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$q < 0$

Paso 5.5.4

En la parte donde $q$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q \geq 0 \\ - q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q < 0 \end{cases}$

Paso 5.6

Obtén la intersección de $q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ y $q \geq 0$ .

$0 \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.7

Resuelve $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ cuando $q < 0$ .

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.7.1.1

Divide cada término de $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- q}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Paso 5.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{q}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Paso 5.7.1.2.2

Divide $q$ por $1$ .

$q \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Paso 5.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$ .

$q \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.7.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$ como $- \frac{\sqrt{22}}{2}$ .

$q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 5.7.2

Obtén la intersección de $q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$ y $q < 0$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q < 0$

Paso 5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $q$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \frac{\sqrt{22}}{2}, \frac{\sqrt{22}}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${q | - \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}}$

Paso 7