Álgebra lineal Ejemplos

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}}^{3} > 0^{3}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ como ${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{1} > 0^{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{2 + x}{4 x} > 0^{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 + x}{4 x} > 0$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 x = 0$

$2 + x = 0$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.3.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 2$

Paso 2.3.5

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 2$

Paso 2.4

Obtén el dominio de $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ .

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Paso 2.4.1

Establece el denominador en $\frac{2 + x}{4 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x = 0$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 2.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Paso 2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 4}{4 (- 4)}} > 0$

Paso 2.6.1.3

$0.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 1}{4 (- 1)}} > 0$

Paso 2.6.2.3

$- 0.62996052$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 2}{4 (2)}} > 0$

Paso 2.6.3.3

$0.79370052$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{2 + x}{4 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x = 0$

Paso 4

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 2, x > 0}$

Paso 6