Álgebra lineal Ejemplos

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.5

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

Paso 2.9

Consolida las soluciones.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

Paso 2.10

Obtén el dominio de $\frac{\sin (x)}{x}$ .

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Paso 2.10.1

Establece el denominador en $\frac{\sin (x)}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.10.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

Paso 2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

Paso 2.12.1.3

$0.45464871$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

Paso 2.12.2.3

$- 0.19178485$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $2 π < x < 3 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 π < x < 3 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

Paso 2.12.3.3

$0.12366978$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < π$ Verdadero

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 3 π$ Verdadero

$0 < x < π$ Verdadero

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 3 π$ Verdadero

Paso 2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ o $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.14

Combina los intervalos.

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{\sin (x)}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 5