Álgebra lineal Ejemplos

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 5$

Paso 2.7

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

Paso 2.9

Consolida las soluciones.

$x = - 2, - 5, - 3$

Paso 2.10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ .

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Paso 2.10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 2.10.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Paso 2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

Paso 2.12.1.3

$- 3.6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

Paso 2.12.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2.5$

Paso 2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $- 2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

Paso 2.12.3.3

$- 2.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.12.4.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

Paso 2.12.4.3

$3.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

Paso 2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 \leq x < - 3$ o $x \geq - 2$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

Paso 6