Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 7 & 8 \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Combina

$7$ y

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica

$8$ por

$- 1$ .

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Paso 2.2.1.2.2

Combina

$- 8$ y

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Paso 2.2.1.2.3

Multiplica

$- 8$ por

$2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

Paso 2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 - 16}{3}$

Paso 2.2.3

Resta

$16$ de

$7$ .

$\frac{- 9}{3}$

Paso 2.2.4

Divide

$- 9$ por

$3$ .

$- 3$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica

$- \frac{1}{3}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica

$- \frac{1}{3} \cdot - 8$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica

$- 8$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Combina

$8$ y

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.3.2

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.3.3

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{2}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.3.4

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 7.4

Multiplica

$- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica

$7$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 7.4.2

Combina

$- 7$ y

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$