Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 34 & 64 \\ 7 & 13 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$34 \cdot 13 - 7 \cdot 64$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $34$ por $13$ .

$442 - 7 \cdot 64$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $64$ .

$442 - 448$

Paso 2.2.2

Resta $448$ de $442$ .

$- 6$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{6}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} \cdot 13 & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot 13$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Combina $- 13$ y $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.3.3

Factoriza $2$ de $- 64$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.3.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.3.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot - 32 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.4

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- - 32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.6

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot - 7$ .

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Paso 7.6.1

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ 7 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.6.2

Combina $7$ y $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.7.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 34 \end{array}]$

Paso 7.7.3

Factoriza $2$ de $34$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Paso 7.7.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Paso 7.7.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot 17 \end{array}]$

Paso 7.8

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1 \cdot 17}{3} \end{array}]$

Paso 7.9

Multiplica $- 1$ por $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 17}{3} \end{array}]$

Paso 7.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{17}{3} \end{array}]$