Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} x & 0 & \frac{1}{x} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (0 \frac{2}{x^{3}} - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $0$ por $\frac{2}{x^{3}}$ .

$x (0 - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$x (0 - 2 x \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.2.3

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$x (0 - 2 \frac{- 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{- 1}{x}$ .

$x (0 + \frac{- 2 \cdot - 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x (0 + \frac{2}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 3.2.2

Suma $0$ y $\frac{2}{x}$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (1 (2 x) + 0 \cdot 0)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0 \cdot 0)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0)$

Paso 4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Suma $x \frac{2}{x}$ y $0$ .

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 5.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 + 2 \frac{1}{x} x$

Paso 5.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 + \frac{2}{x} x$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 + \frac{2}{x} x$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 + 2$

Paso 5.3

Suma $2$ y $2$ .

$4$