Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2.2

Multiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3.2.2

Multiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

Paso 4.2.2

Combina $x$ y $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

Paso 4.2.3

Multiplica $- - \frac{x}{6}$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $\frac{x}{6}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.5

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{x}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.6

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ .

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $6$ por $36$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Paso 5.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Paso 5.1.8

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ .

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Paso 5.1.8.1

Multiplica $\frac{1}{36}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $36$ por $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Paso 5.1.9

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ .

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Paso 5.1.9.1

Multiplica $\frac{x}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

Paso 5.1.9.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Paso 5.3

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Paso 5.4

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Paso 5.5

Resta $1$ de $- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $36$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.1.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Paso 5.6.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $216$ .

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Paso 5.6.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

Paso 5.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.3.2.1

Factoriza $2$ de $216$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Paso 5.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Paso 5.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

Paso 5.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$