Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $e^{t}$ por $e^{- t}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Paso 2.2.1.3

Suma $- t$ y $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Paso 2.2.2

Simplifica $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - e^{t}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Paso 5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Paso 6

Factoriza $- 1$ de $- e^{t}$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (e^{t})$ .

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Paso 9

Multiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.1

Combina $e^{- t}$ y $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.2

Multiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.3

Multiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.3.3

Combina $\frac{1}{1 + e^{t}}$ y $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Paso 10.4

Multiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Paso 10.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Paso 10.4.3

Combina $\frac{1}{1 + e^{t}}$ y $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$