Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de

4

$4$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ al numerador.

\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 2.2.1.2.3

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Paso 2.2.1.2.4

Multiplica

$3$ por

$6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Paso 2.2.2

Para escribir

$- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Paso 2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de

$18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica

$3$ por

$6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Paso 2.2.5

Suma

$- 6$ y

$1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Paso 2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{18}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 5

Cancela el factor común de

$1$ y

$- 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe

$1$ como

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica

$\frac{18}{5}$ por

$1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 8

Multiplica

$- \frac{18}{5}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{18}{5}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.1.2

Factoriza

$3$ de

$- 18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.2

Combina

$\frac{- 6}{5}$ y

$4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.3

Multiplica

$- 6$ por

$4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.5

Cancela el factor común de

$6$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{18}{5}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.5.2

Factoriza

$6$ de

$- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.7

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 9.7.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{18}{5}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.7.2

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{3}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.7.3

Factoriza

$3$ de

$- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.7.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.7.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.8

Combina

$\frac{- 6}{5}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.9

Multiplica

$- 6$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.10

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 9.10.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{18}{5}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Paso 9.10.2

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{4}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Paso 9.10.3

Factoriza

$2$ de

$- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Paso 9.10.4

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Paso 9.10.5

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Paso 9.10.6

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Paso 9.11

Multiplica

$\frac{- 9}{5}$ por

$\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Paso 9.12

Multiplica

$- 9$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Paso 9.13

Multiplica

$5$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$