Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $a + b$ por $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 2.2.2

Combina los términos opuestos en $a + b - a - c$ .

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Paso 2.2.2.1

Resta $a$ de $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 2.2.2.2

Suma $b$ y $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $a + b$ por $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $a + b - b - c$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $b$ de $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 3.2.2.2

Suma $a$ y $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $a + c$ por $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Paso 4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $a + c - b - c$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $c$ de $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Paso 4.2.2.2

Suma $a - b$ y $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Paso 5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Paso 5.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Paso 5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Paso 5.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Paso 5.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Paso 5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Paso 5.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $c$ por $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en los términos $- a b$ y $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Paso 5.2.2

Suma $- a b$ y $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Paso 5.2.3

Suma $a c$ y $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Paso 5.2.4

Reordena los factores en los términos $a c$ y $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Paso 5.2.5

Resta $a c$ de $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Paso 5.2.6

Suma $- b c$ y $0$ .

$- b c + c b$

Paso 5.2.7

Reordena los factores en los términos $- b c$ y $c b$ .

$- b c + b c$

Paso 5.2.8

Suma $- b c$ y $b c$ .

$0$