Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) & \sin (x) \\ e^{x} & - \sin (x) & \cos (x) \\ e^{x} & - \cos (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} | - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (- \sin (x) (- \sin (x)) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} (1 \sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{x} (\sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.1.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.1.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} ({\sin (x)}^{1 + 1} - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - {\cos (x)}^{1 + 1}) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- - \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + 1 \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 2.2.2

Aplica la identidad pitagórica.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} (- \cos (x)) - e^{x} (- \sin (x)))$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) - e^{x} (- \sin (x)))$

Paso 4.2.2

Multiplica $- e^{x} (- \sin (x))$ .

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + 1 e^{x} \sin (x))$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.3

Multiplica $- \cos (x) (- e^{x} \sin (x))$ .

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} + 1 \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4

Multiplica $- \cos (x) (- e^{x} \cos (x))$ .

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + 1 \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Paso 5.1.7

Multiplica $\sin (x) (e^{x} \sin (x))$ .

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Paso 5.1.7.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) e^{x}$

Paso 5.1.7.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) e^{x}$

Paso 5.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} e^{x}$

Paso 5.1.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) e^{x} \sin (x)$ y $- \sin (x) e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} + e^{x} \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - e^{x} \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.2.2

Resta $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ de $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + 0 + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.2.3

Suma $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x}$ y $0$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica por $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.3.2

Factoriza $e^{x}$ de $\cos^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Paso 5.3.3

Factoriza $e^{x}$ de $\sin^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Paso 5.3.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x)$ .

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Paso 5.3.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$ .

$e^{x} (1 + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Paso 5.4

Reorganiza los términos.

$e^{x} (1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 5.5

Aplica la identidad pitagórica.

$e^{x} (1 + 1)$

Paso 5.6

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x} \cdot 2$

Paso 5.7

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$2 e^{x}$