Álgebra lineal Ejemplos

det

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 3 & 4 & 5 3 & 7 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

1

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento

a_{12}

$a_{12}$ por su cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento

a_{13}

$a_{13}$ por su cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

$4$ por

$8$ .

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- 7$ por

$5$ .

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta

$35$ de

$32$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

$- 3$ por

$5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta

$15$ de

$24$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$7$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica

$- 3$ por

$4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Paso 4.2.2

Resta

$12$ de

$21$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica

$3$ por

$- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Paso 5.1.2

Multiplica

$- 2$ por

$9$ .

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Paso 5.1.3

Multiplica

$9$ por

$1$ .

$- 9 - 18 + 9$

Paso 5.2

Resta

$18$ de

$- 9$ .

$- 27 + 9$

Paso 5.3

Suma

$- 27$ y

$9$ .

$- 18$