Álgebra lineal Ejemplos

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 2

Evalúa

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$1$ .

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- x^{3} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica

$0$ por

$x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 2.2.2

Suma

$5 x$ y

$0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 3.2.2

Suma

$- 3$ y

$0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Paso 4.2

Multiplica

$5$ por

$- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Paso 5.2

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve

$x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Paso 5.2.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Paso 5.3

Multiplica

$- 3$ por

$- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Paso 5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Paso 5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Multiplica

$x^{2}$ por

$x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.1.1

Mueve

$x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Paso 5.7.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Paso 5.7.1.3

Suma

$3$ y

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Paso 5.7.2

Multiplica

$x^{2}$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.2.1

Mueve

$x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Paso 5.7.2.2

Multiplica

$x$ por

$x^{2}$ .

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Paso 5.7.2.2.1

Eleva

$x$ a la potencia de

$1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Paso 5.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Paso 5.7.2.3

Suma

$1$ y

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$