Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1$ , $x (2 y - 5) - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, x (2 y) + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Paso 1.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Paso 1.1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 \cdot x - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Paso 1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 2 y \cdot 3 = 2 x + 1$

Paso 1.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y = 2 x + 1$

Paso 1.2

Combina los términos opuestos en $2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y$ .

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Paso 1.2.1

Reordena los factores en los términos $2 x y$ y $- 2 y x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 x y - 6 y = 2 x + 1$

Paso 1.2.2

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x + 0 - 6 y = 2 x + 1$

Paso 1.2.3

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y = 2 x + 1$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y - 2 x = 1$

Paso 2.2

Resta $2 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 7 x - 6 y = 1$

Paso 3

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 y - 2} & 0 & 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Paso 4

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} (3 y - 2) \frac{1}{3 y - 2} & (3 y - 2) \cdot 0 & (3 y - 2) \cdot 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Paso 4.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Paso 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 + 7 \cdot 1 & - 6 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 (3 y - 2) \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & - 6 & 21 y - 13 \end{array}]$

Paso 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} (21 y - 13) \end{array}]$

Paso 4.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6} \end{array}]$

Paso 5

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 3 y - 2$

$y = - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6}$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Suma $\frac{7 y}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.1.2

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.1.3

Combina $y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y \cdot 2 + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.1.5.2

Suma $2 y$ y $7 y$ .

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Factoriza $9$ de $9 y$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (y)) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $\frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 (3)}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{9 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Paso 6.3.2.1.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

Paso 7

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(3 y - 2, \frac{13}{27})$

Paso 8

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 y - 2 \\ \frac{13}{27} \end{array}]$