Álgebra lineal Ejemplos

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 1$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{9}{2 (- 2)}$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = - \frac{9}{- 4}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{9}{4}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{9}{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{9}{4})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{9}{4})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{9}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{9}{4}) = - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{81}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1) (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{9}{4}) = - 1 (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{81}{8})$ como $- (\frac{81}{8})$ .

$f (\frac{9}{4}) = - (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $9 (\frac{9}{4})$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Combina $9$ y $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} + 1$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{81}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{81}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Paso 3.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.6

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 + 8}{8}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $81$ por $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 162 + 8}{8}$

Paso 3.2.4.2

Suma $- 81$ y $162$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 + 8}{8}$

Paso 3.2.4.3

Suma $81$ y $8$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{89}{8}$

Paso 3.2.5

La respuesta final es $\frac{89}{8}$ .

$\frac{89}{8}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(\frac{9}{4}, \frac{89}{8})$

Paso 5