Álgebra lineal Ejemplos

$- 2 x + 2 y - 10 z = - 6$ , $x - y + 5 z = 3$ , $5 x - 5 y + 25 z = 15$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & - 10 & - 6 \\ 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 5 & - 5 & 25 & 15 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 10 & - \frac{1}{2} \cdot - 6 \\ 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 5 & - 5 & 25 & 15 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 5 & - 5 & 25 & 15 \end{array}]$

Paso 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 5 - 5 & 3 - 3 \\ 5 & - 5 & 25 & 15 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & - 5 & 25 & 15 \end{array}]$

Paso 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 25 - 5 \cdot 5 & 15 - 5 \cdot 3 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x - y + 5 z = 3$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 5 z = 3 + y$

Paso 4.2

Resta $5 z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 3 + y - 5 z$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(3 + y - 5 z, y, z)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 + y - 5 z \\ y \\ z \end{array}]$