Álgebra lineal Ejemplos

$x + y = - 10$ , ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10 - y$

${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 10 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$ por $- 10 - y$ .

${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Suma $- 10$ y $3$ .

${(- y - 7)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe ${(- y - 7)}^{2}$ como $(- y - 7) (- y - 7)$ .

$(- y - 7) (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Expande $(- y - 7) (- y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y - 7) - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.4.1.2.1

Mueve $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.5

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$y^{2} + 7 y - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.1.7

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $7 y$ y $7 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.5

Reescribe ${(y + 9)}^{2}$ como $(y + 9) (y + 9)$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + (y + 9) (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.6

Expande $(y + 9) (y + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 14 y + 49 + y (y + 9) + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.7.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.7.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 \cdot y + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.7.1.3

Multiplica $9$ por $9$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.1.7.2

Suma $9 y$ y $9 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 14 y + 49 + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $14 y$ y $18 y$ .

$2 y^{2} + 32 y + 49 + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 2.2.1.2.3

Suma $49$ y $81$ .

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$ .

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Paso 3.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} + 32 y + 130 - 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.2

Resta $10$ de $130$ .

$2 y^{2} + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2} + 32 y + 120$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $32 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (16 y) + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $120$ .

$2 y^{2} + 2 (16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 y^{2} + 2 (16 y)$ .

$2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60$ .

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y^{2} + 16 y + 60$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $60$ y cuya suma es $16$ .

$6, 10$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 6 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.5

Establece $y + 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y + 6$ igual a $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

Paso 3.6

Establece $y + 10$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y + 10$ igual a $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Paso 3.6.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (y + 6) (y + 10) = 0$ verdadera.

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 10 - y$ por $- 6$ .

$x = - 10 - (- 6)$

$y = - 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 10 - (- 6)$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$x = - 10 + 6$

$y = - 6$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 10$ y $6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 10$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 10 - y$ por $- 10$ .

$x = - 10 - (- 10)$

$y = - 10$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- 10 - (- 10)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$x = - 10 + 10$

$y = - 10$

Paso 5.2.1.2

Suma $- 10$ y $10$ .

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 4, - 6)$

$(0, - 10)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 4, - 6), (0, - 10)$

Forma de la ecuación:

$x = - 4, y = - 6$

$x = 0, y = - 10$

Paso 8