Álgebra lineal Ejemplos

$2 a + d = 24$ , $2 b + d = 17$ , $2 a + 2 b = x$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 a + d = 24, 2 b + d = 17, 2 a + 2 b - x = 0$

Paso 2

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 & 24 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 17 \\ 2 & 2 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{24}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 17 \\ 2 & 2 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 17 \\ 2 & 2 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 17 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & - 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 12 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 17 \\ 0 & 2 & - 1 & - 1 & - 24 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{17}{2} \\ 0 & 2 & - 1 & - 1 & - 24 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{2} \\ 0 & 2 & - 1 & - 1 & - 24 \end{array}]$

Paso 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{2} \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 (\frac{1}{2}) & - 1 - 2 \cdot 0 & - 24 - 2 (\frac{17}{2}) \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{2} \\ 0 & 0 & - 2 & - 1 & - 41 \end{array}]$

Paso 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Paso 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{2} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 41 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{41}{2} \end{array}]$

Paso 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Paso 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} & \frac{17}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{41}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{41}{2} \end{array}]$

Paso 3.6.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4} & - \frac{7}{4} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{41}{2} \end{array}]$

Paso 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} & 12 - \frac{1}{2} \cdot \frac{41}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4} & - \frac{7}{4} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{41}{2} \end{array}]$

Paso 3.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4} & - \frac{7}{4} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{41}{2} \end{array}]$

Paso 4

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$a - \frac{x}{4} = \frac{7}{4}$

$b - \frac{x}{4} = - \frac{7}{4}$

$d + \frac{x}{2} = \frac{41}{2}$

Paso 5

Suma $\frac{x}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$a = \frac{7}{4} + \frac{x}{4}$

$b - \frac{x}{4} = - \frac{7}{4}$

$d + \frac{x}{2} = \frac{41}{2}$

Paso 6

Suma $\frac{x}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$b = - \frac{7}{4} + \frac{x}{4}$

$a = \frac{7}{4} + \frac{x}{4}$

$d + \frac{x}{2} = \frac{41}{2}$

Paso 7

Resta $\frac{x}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$d = \frac{41}{2} - \frac{x}{2}$

$a = \frac{7}{4} + \frac{x}{4}$

$b = - \frac{7}{4} + \frac{x}{4}$

Paso 8

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{7}{4} + \frac{x}{4}, - \frac{7}{4} + \frac{x}{4}, \frac{41}{2} - \frac{x}{2}, x)$

Paso 9

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ x \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{4} + \frac{x}{4} \\ - \frac{7}{4} + \frac{x}{4} \\ \frac{41}{2} - \frac{x}{2} \\ x \end{array}]$