Álgebra lineal Ejemplos

\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} + \frac{z}{2} = 0

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} + \frac{z}{2} = 0$ ,

$\frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6$ ,

$\frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Para escribir

$- \frac{y + 6}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de

$6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica

$\frac{y + 6}{3}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.2.2

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 2 - (y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 + (- y - 1 \cdot 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4.2

Multiplica

$- 1$ por

$6$ .

$\frac{x + 2 + (- y - 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 - y \cdot 2 - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4.4

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$\frac{x + 2 - 2 y - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4.5

Multiplica

$- 6$ por

$2$ .

$\frac{x + 2 - 2 y - 12}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.4.6

Resta

$12$ de

$2$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.5

Para escribir

$\frac{z}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} \cdot \frac{3}{3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.6

Escribe cada expresión con un denominador común de

$6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 1.6.1

Multiplica

$\frac{z}{2}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{2 \cdot 3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.6.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 y - 10 + z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 1.8

Mueve

$3$ a la izquierda de

$z$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1 + y - 1}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en

$x + 1 + y - 1$ .

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Paso 2.2.1

Resta

$1$ de

$1$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y + 0}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.2.2

Suma

$x + y$ y

$0$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.4

Para escribir

$\frac{x + y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de

$4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 2.5.1

Multiplica

$\frac{x + y}{2}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.5.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{4} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x \cdot 2 + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.7.2

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.7.3

Mueve

$2$ a la izquierda de

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + 2 \cdot y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 2.7.4

Multiplica

$2$ por

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Para escribir

$\frac{x - 5}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.2

Para escribir

$\frac{y + 1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de

$12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica

$\frac{x - 5}{4}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.3.2

Multiplica

$4$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.3.3

Multiplica

$\frac{y + 1}{3}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.3.4

Multiplica

$3$ por

$4$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.2

Mueve

$3$ a la izquierda de

$x$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.3

Multiplica

$- 5$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 15 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.5

Mueve

$4$ a la izquierda de

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.6

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.5.7

Suma

$- 15$ y

$4$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Paso 3.6

Para escribir

$\frac{z - 2}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} \cdot \frac{6}{6} = \frac{83}{12}$

Paso 3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de

$12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

$1$ .

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Paso 3.7.1

Multiplica

$\frac{z - 2}{2}$ por

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{83}{12}$

Paso 3.7.2

Multiplica

$2$ por

$6$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + (z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + z \cdot 6 - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 3.9.2

Mueve

$6$ a la izquierda de

$z$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 3.9.3

Multiplica

$- 2$ por

$6$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 12}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 3.9.4

Resta

$12$ de

$- 11$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y + 6 z - 23}{12} = \frac{83}{12}$

Paso 4

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$6$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$6$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 (\frac{1}{6}) & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 6 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{1}{12} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2

Simplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 4$ a

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 4$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.4.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Paso 5.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at

$3, 4$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at

$3, 4$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{83}{12} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.5.2

Simplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 6

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 0$

$0 = 1$

Paso 7

Como

$0 \neq 1$ , no hay soluciones.

No hay solución