Álgebra lineal Ejemplos

$(3 x - y + z) = 0$ , $(x - 2 y + 5 z) = 0$ , $(- x + y - 2 z) = 0$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$3 x - y + z = 0, x - 2 y + 5 z = 0, - x + y - 2 z = 0$

Paso 2

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 5 & 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 1 & - 2 & 5 & 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 5 & 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + \frac{1}{3} & 5 - \frac{1}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{14}{3} & 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{14}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - \frac{1}{3} & - 2 + \frac{1}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot \frac{14}{3} & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{14}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 3.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 3.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{14}{5} & 0 \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{5}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{14}{5}) & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{14}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Paso 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Paso 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{14}{5} & 0 \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{14}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Paso 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 + \frac{14}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{14}{5} \cdot 0 & - \frac{14}{5} + \frac{14}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{14}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(0, 0, 0)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$