Álgebra lineal Ejemplos

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $k$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 4.1.1

Suma $\frac{4}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $k$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Paso 4.2.2

Resta $\frac{4}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Paso 5

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$