Álgebra lineal Ejemplos

$y = x - 3$ , $y = 1 + z$ , $z = 4 - x$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y - x = - 3, y = 1 + z, z = 4 - x$

Paso 2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$y - x = - 3, y - z = 1, z = 4 - x$

Paso 3

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x = - 3, y - z = 1, z + x = 4$

Paso 4

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 5

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - - 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 5.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 - 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 5.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 5.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 5.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Paso 5.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 5.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Paso 5.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 5.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 5.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 5.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 3 + 1 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 5.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 6

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = 4$

$y = 1$

$z = 0$

Paso 7

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(4, 1, 0)$

Paso 8

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$