Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - 3 x + 1 y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ 0 x + 1 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - 3 x + y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Paso 2

La ecuación de matriz puede escribirse como un conjunto de ecuaciones.

$- 3 x + y + 2 z = 5$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 2 z = 5 + 3 x$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Paso 3.2

Resta $2 z$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $5 + 3 x - 2 z$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $4 x + 2 y - 4 z = - 4$ por $5 + 3 x - 2 z$ .

$4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica $4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 2 \cdot 5 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2.1.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$4 x + 10 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 x + 10 + 6 x + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2.1.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Suma $4 x$ y $6 x$ .

$10 x + 10 - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $4 z$ de $- 4 z$ .

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $y + 3 z = 3$ por $5 + 3 x - 2 z$ .

$(5 + 3 x - 2 z) + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Suma $- 2 z$ y $3 z$ .

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x + z = 3 - 5$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 5.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$z = 3 - 5 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 5.3

Resta $5$ de $3$ .

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $z$ por $- 2 - 3 x$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $10 x + 10 - 8 z = - 4$ por $- 2 - 3 x$ .

$10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica $10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x + 10 - 8 \cdot - 2 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$10 x + 10 + 16 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.2.1

Suma $10 x$ y $24 x$ .

$34 x + 10 + 16 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.2.1.2.2

Suma $10$ y $16$ .

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $y = 5 + 3 x - 2 z$ por $- 2 - 3 x$ .

$y = 5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 6.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Simplifica $5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 5 + 3 x - 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 6.4.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 6.4.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 6.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.2.1

Suma $5$ y $4$ .

$y = 3 x + 9 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 6.4.1.2.2

Suma $3 x$ y $6 x$ .

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7

Resuelve $x$ en $34 x + 26 = - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Resta $26$ de ambos lados de la ecuación.

$34 x = - 4 - 26$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.1.2

Resta $26$ de $- 4$ .

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2

Divide cada término en $34 x = - 30$ por $34$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Divide cada término en $34 x = - 30$ por $34$ .

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $34$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $- 30$ y $34$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 30$ .

$x = \frac{2 (- 15)}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 7.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{15}{17}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = 9 x + 9$ por $- \frac{15}{17}$ .

$y = 9 (- \frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica $9 (- \frac{15}{17}) + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1

Multiplica $9 (- \frac{15}{17})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y = - 9 (\frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.1.1.2

Combina $- 9$ y $\frac{15}{17}$ .

$y = \frac{- 9 \cdot 15}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.1.1.3

Multiplica $- 9$ por $15$ .

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + 9 \cdot \frac{17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + \frac{9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 135 + 9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.5.1

Multiplica $9$ por $17$ .

$y = \frac{- 135 + 153}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.2.1.5.2

Suma $- 135$ y $153$ .

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $z = - 2 - 3 x$ por $- \frac{15}{17}$ .

$z = - 2 - 3 (- \frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Simplifica $- 2 - 3 (- \frac{15}{17})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1

Multiplica $- 3 (- \frac{15}{17})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$z = - 2 + 3 (\frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.1.2

Combina $3$ y $\frac{15}{17}$ .

$z = - 2 + \frac{3 \cdot 15}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.1.3

Multiplica $3$ por $15$ .

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$z = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{17}{17}$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{- 2 \cdot 17 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $17$ .

$z = \frac{- 34 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 8.4.1.5.2

Suma $- 34$ y $45$ .

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Paso 9

Enumera todas las soluciones.

$z = \frac{11}{17}, y = \frac{18}{17}, x = - \frac{15}{17}$