Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $4 \times 4$ and the second matrix is $4 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 0 v + 0 z \\ 0 x + 0 y + 1 v + 1 z \\ 1 x + 0 y + 1 v + 0 z \\ 0 x + 1 y + 0 v + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

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Paso 1.3.1

Suma $0$ y $y$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Paso 1.3.2

Suma $y$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Paso 2

La ecuación de matriz puede escribirse como un conjunto de ecuaciones.

$x + y = 110$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Paso 3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $110 - y$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x + v = 140$ por $110 - y$ .

$(110 - y) + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Elimina los paréntesis.

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $110$ de ambos lados de la ecuación.

$- y + v = 140 - 110$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$v = 140 - 110 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Paso 5.3

Resta $110$ de $140$ .

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $v$ por $30 + y$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $v$ en $v + z = 160$ por $30 + y$ .

$(30 + y) + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$y + z = 160 - 30$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 7.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 160 - 30 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 7.3

Resta $30$ de $160$ .

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $y$ por $130 - z$ en cada ecuación.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $v = 30 + y$ por $130 - z$ .

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 8.2

Simplifica $v = 30 + 130 - z$ .

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Suma $30$ y $130$ .

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 110 - y$ por $130 - z$ .

$x = 110 - (130 - z)$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

Simplifica $110 - (130 - z)$ .

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Paso 8.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 110 - 1 \cdot 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.4.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $130$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.4.1.1.3

Multiplica $- - z$ .

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Paso 8.4.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 110 - 130 + 1 z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.4.1.1.3.2

Multiplica $z$ por $1$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.4.1.2

Resta $130$ de $110$ .

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Paso 8.5

Reemplaza todos los casos de $y$ en $y + z = 130$ por $130 - z$ .

$(130 - z) + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Paso 8.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.6.1

Combina los términos opuestos en $(130 - z) + z$ .

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Paso 8.6.1.1

Suma $- z$ y $z$ .

$130 + 0 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Paso 8.6.1.2

Suma $130$ y $0$ .

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Paso 9

Elimina del sistema las ecuaciones que siempre son verdaderas.

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$