Álgebra lineal Ejemplos

$x [\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Multiplica $x$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} x \cdot 2 \\ x \cdot - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.1.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ x \cdot - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.1.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.1.3

Multiplica $y$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} y \cdot - 4 \\ y \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.1.4

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.1.4.1

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 y \\ y \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.1.4.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 y \\ - 2 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 1.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 x - 4 y \\ - 3 x - 2 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 2

La ecuación de matriz puede escribirse como un conjunto de ecuaciones.

$2 x - 4 y = - 4$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3

Resuelve $x$ en $2 x - 4 y = - 4$ .

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Paso 3.1

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 4 + 4 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 x = - 4 + 4 y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 x = - 4 + 4 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Divide $- 4$ por $2$ .

$x = - 2 + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2 (1)}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2 + \frac{2 y}{1}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 3.2.3.1.2.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 2 + 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $- 3 x - 2 y = - 1$ por $- 2 + 2 y$ .

$- 3 (- 2 + 2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 3 (- 2 + 2 y) - 2 y$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \cdot - 2 - 3 (2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$6 - 3 (2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$6 - 6 y - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 6 y - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 4.2.1.2

Resta $2 y$ de $- 6 y$ .

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5

Resuelve $y$ en $6 - 8 y = - 1$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y = - 1 - 6$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5.1.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$- 8 y = - 7$

$x = - 2 + 2 y$

$- 8 y = - 7$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 8 y = - 7$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 8 y = - 7$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{7}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 2 + 2 y$ por $\frac{7}{8}$ .

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{8})$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 2 + 2 (\frac{7}{8})$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{2 (4)})$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2 + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \cdot 4 + 7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$x = \frac{- 8 + 7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.5.2

Suma $- 8$ y $7$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = \frac{- 1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$x = - \frac{1}{4}, y = \frac{7}{8}$