Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} y & 4 \\ 3 & 2 x \end{array}] - [\begin{array}{c} x + 3 & - 3 \\ 2 & 3 y + 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} y - (x + 3) & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2

Simplify each element.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} y - x - 1 \cdot 3 & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.3

Resta $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - (3 y) - 1 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - 3 y - 1 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - 3 y - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la regla de la función

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Paso 2.1

Comprueba si la regla de la función es lineal.

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Paso 2.1.1

Para determinar si la tabla sigue una regla de la función, comprueba si los valores siguen la forma lineal $y = a x + b$ .

$y = a x + b$

Paso 2.1.2

Construye un conjunto de ecuaciones a partir de la tabla de modo que $y = a x + b$ .

$7 = a (7) + b 1 = a (1) + b$

Paso 2.1.3

Calcula los valores de $a$ y $b$ .

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Paso 2.1.3.1

Resuelve $a$ en $1 = a + b$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $a + b = 1$ .

$a + b = 1$

$7 = a (7) + b$

Paso 2.1.3.1.2

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 1 - b$

$7 = a (7) + b$

$a = 1 - b$

$7 = a (7) + b$

Paso 2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $1 - b$ en cada ecuación.

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Paso 2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $7 = a (7) + b$ por $1 - b$ .

$7 = (1 - b) (7) + b$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.2.2.1

Simplifica $(1 - b) (7) + b$ .

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Paso 2.1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 = 1 \cdot 7 - b \cdot 7 + b$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 = 7 - b \cdot 7 + b$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$7 = 7 - 7 b + b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 7 b + b$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.2.2.1.2

Suma $- 7 b$ y $b$ .

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3

Resuelve $b$ en $7 = 7 - 6 b$ .

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Paso 2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $7 - 6 b = 7$ .

$7 - 6 b = 7$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1.3.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 b = 7 - 7$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.2.2

Resta $7$ de $7$ .

$- 6 b = 0$

$a = 1 - b$

$- 6 b = 0$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.3

Divide cada término en $- 6 b = 0$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 6 b = 0$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.3.3.3.1

Divide $0$ por $- 6$ .

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

Paso 2.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $b$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = 1 - b$ por $0$ .

$a = 1 - (0)$

$b = 0$

Paso 2.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.4.2.1

Resta $0$ de $1$ .

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

Paso 2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$a = 1, b = 0$

Paso 2.1.4

Calcula el valor de $y$ con cada valor de $x$ en la relación y compara este valor con el valor de $y$ dado en la relación.

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Paso 2.1.4.1

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 7$ .

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Paso 2.1.4.1.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$y = 7 + 0$

Paso 2.1.4.1.2

Suma $7$ y $0$ .

$y = 7$

Paso 2.1.4.2

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = y$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 7$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 7$ y $y = 7$ .

$7 = 7$

Paso 2.1.4.3

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 1$ .

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Paso 2.1.4.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = 1 + 0$

Paso 2.1.4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$y = 1$

Paso 2.1.4.4

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = y$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 1$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 1$ y $y = 1$ .

$1 = 1$

Paso 2.1.4.5

Como $y = y$ para los valores $x$ correspondientes, la función es lineal.

La función es lineal.

Paso 2.2

Como todas $y = y$ , la función es lineal y sigue la forma $y = x$ .

$y = x$

Paso 3

Obtén $y - x - 3$ .

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Paso 3.1

Usa la ecuación de la regla de la función para obtener $y - x - 3$ .

$1 = y - x - 3$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $y - x - 3 = 1$ .

$y - x - 3 = 1$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y - 3 = 1 + x$

Paso 3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1 + x + 3$

Paso 3.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$y = x + 4$

Paso 4

Obtén $2 x - 3 y - 1$ .

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Paso 4.1

Usa la ecuación de la regla de la función para obtener $2 x - 3 y - 1$ .

$- 9 = 2 x - 3 y - 1$

Paso 4.2

Reescribe la ecuación como $2 x - 3 y - 1 = - 9$ .

$2 x - 3 y - 1 = - 9$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 1 = - 9 + 3 y$

Paso 4.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 9 + 3 y + 1$

Paso 4.3.3

Suma $- 9$ y $1$ .

$2 x = 3 y - 8$

Paso 4.4

Divide cada término en $2 x = 3 y - 8$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $2 x = 3 y - 8$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Divide $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{3 y}{2} - 4$

Paso 5

Enumera todas las soluciones.

$y = x + 4 x = \frac{3 y}{2} - 4$