Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 7 x & - 8 \\ 8 y & - 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 20 \\ 2 y & 3 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la regla de la función

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Paso 1.1

Comprueba si la regla de la función es lineal.

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Paso 1.1.1

Para determinar si la tabla sigue una regla de la función, comprueba si los valores siguen la forma lineal $y = a x + b$ .

$y = a x + b$

Paso 1.1.2

Construye un conjunto de ecuaciones a partir de la tabla de modo que $y = a x + b$ .

$20 = a (- 8) + b 3 = a (- 3) + b$

Paso 1.1.3

Calcula los valores de $a$ y $b$ .

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Paso 1.1.3.1

Resuelve $b$ en $20 = a (- 8) + b$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $a (- 8) + b = 20$ .

$a (- 8) + b = 20$

$3 = a (- 3) + b$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $a$ .

$- 8 a + b = 20$

$3 = a (- 3) + b$

Paso 1.1.3.1.3

Suma $8 a$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + b$

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + b$

Paso 1.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $b$ por $20 + 8 a$ en cada ecuación.

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Paso 1.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $3 = a (- 3) + b$ por $20 + 8 a$ .

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.2.2

Simplifica $3 = a (- 3) + 20 + 8 a$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Simplifica $a (- 3) + 20 + 8 a$ .

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Paso 1.1.3.2.2.2.1.1

Mueve $- 3$ a la izquierda de $a$ .

$3 = - 3 a + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.2.2.2.1.2

Suma $- 3 a$ y $8 a$ .

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3

Resuelve $a$ en $3 = 5 a + 20$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $5 a + 20 = 3$ .

$5 a + 20 = 3$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.3.2.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$5 a = 3 - 20$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.2.2

Resta $20$ de $3$ .

$5 a = - 17$

$b = 20 + 8 a$

$5 a = - 17$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.3

Divide cada término en $5 a = - 17$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.3.3.1

Divide cada término en $5 a = - 17$ por $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 a}{5} = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.3.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Paso 1.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- \frac{17}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 1.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $b = 20 + 8 a$ por $- \frac{17}{5}$ .

$b = 20 + 8 (- \frac{17}{5})$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.4.2.1

Simplifica $20 + 8 (- \frac{17}{5})$ .

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Paso 1.1.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.2.1.1.1

Multiplica $8 (- \frac{17}{5})$ .

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Paso 1.1.3.4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$b = 20 - 8 (\frac{17}{5})$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.1.1.2

Combina $- 8$ y $\frac{17}{5}$ .

$b = 20 + \frac{- 8 \cdot 17}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.1.1.3

Multiplica $- 8$ por $17$ .

$b = 20 + \frac{- 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + \frac{- 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = 20 - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.2

Para escribir $20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$b = 20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.3

Combina $20$ y $\frac{5}{5}$ .

$b = \frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{20 \cdot 5 - 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.2.1.5.1

Multiplica $20$ por $5$ .

$b = \frac{100 - 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.5.2

Resta $136$ de $100$ .

$b = \frac{- 36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = \frac{- 36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$b = - \frac{36}{5}, a = - \frac{17}{5}$

Paso 1.1.4

Calcula el valor de $y$ con cada valor de $x$ en la relación y compara este valor con el valor de $y$ dado en la relación.

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Paso 1.1.4.1

Calcula el valor de $y$ cuando $a = - \frac{17}{5}$ , $b = - \frac{36}{5}$ y $x = - 8$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Multiplica $(- \frac{17}{5}) (- 8)$ .

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Paso 1.1.4.1.1.1

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = 8 (\frac{17}{5}) - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.1.1.2

Combina $8$ y $\frac{17}{5}$ .

$y = \frac{8 \cdot 17}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.1.1.3

Multiplica $8$ por $17$ .

$y = \frac{136}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.1.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.4.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{136 - 36}{5}$

Paso 1.1.4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.1.2.2.1

Resta $36$ de $136$ .

$y = \frac{100}{5}$

Paso 1.1.4.1.2.2.2

Divide $100$ por $5$ .

$y = 20$

Paso 1.1.4.2

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = y$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = - 8$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 20$ y $y = 20$ .

$20 = 20$

Paso 1.1.4.3

Calcula el valor de $y$ cuando $a = - \frac{17}{5}$ , $b = - \frac{36}{5}$ y $x = - 3$ .

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Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $(- \frac{17}{5}) (- 3)$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = 3 (\frac{17}{5}) - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Combina $3$ y $\frac{17}{5}$ .

$y = \frac{3 \cdot 17}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.3.1.3

Multiplica $3$ por $17$ .

$y = \frac{51}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.1.4.3.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{51 - 36}{5}$

Paso 1.1.4.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.2.2.1

Resta $36$ de $51$ .

$y = \frac{15}{5}$

Paso 1.1.4.3.2.2.2

Divide $15$ por $5$ .

$y = 3$

Paso 1.1.4.4

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = y$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = - 3$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 3$ y $y = 3$ .

$3 = 3$

Paso 1.1.4.5

Como $y = y$ para los valores $x$ correspondientes, la función es lineal.

La función es lineal.

Paso 1.2

Como todas $y = y$ , la función es lineal y sigue la forma $y = - \frac{17 x}{5} - \frac{36}{5}$ .

$y = - \frac{17 x}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 2

Obtén $7 x$ .

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Paso 2.1

Usa la ecuación de la regla de la función para obtener $7 x$ .

$0 = - \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 2.2

Reescribe la ecuación como $- \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5} = 0$ .

$- \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5} = 0$

Paso 2.3

Suma $\frac{36}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{177 x}{5} = \frac{36}{5}$

Paso 2.4

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- 177 x = 36$

Paso 2.5

Divide cada término en $- 177 x = 36$ por $- 177$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $- 177 x = 36$ por $- 177$ .

$\frac{- 177 x}{- 177} = \frac{36}{- 177}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 177$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 177 x}{- 177} = \frac{36}{- 177}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{36}{- 177}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $36$ y $- 177$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$x = \frac{3 (12)}{- 177}$

Paso 2.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 177$ .

$x = \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot - 59}$

Paso 2.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot - 59}$

Paso 2.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{12}{- 59}$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{12}{59}$

Paso 3

Obtén $8 y$ .

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Paso 3.1

Usa la ecuación de la regla de la función para obtener $8 y$ .

$2 y = - \frac{178 y}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $\frac{178 y}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.2

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$2 y \cdot \frac{5}{5} + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.3

Combina $2 y$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y \cdot 5}{5} + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y \cdot 5 + 178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $2 y$ de $2 y \cdot 5 + 178 y$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Factoriza $2 y$ de $2 y \cdot 5$ .

$\frac{2 y (5) + 178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.5.1.2

Factoriza $2 y$ de $178 y$ .

$\frac{2 y (5) + 2 y (89)}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.5.1.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (5) + 2 y (89)$ .

$\frac{2 y (5 + 89)}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.5.2

Suma $5$ y $89$ .

$\frac{2 y \cdot 94}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.2.5.3

Multiplica $94$ por $2$ .

$\frac{188 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Paso 3.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$188 y = - 36$

Paso 3.4

Divide cada término en $188 y = - 36$ por $188$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $188 y = - 36$ por $188$ .

$\frac{188 y}{188} = \frac{- 36}{188}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $188$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{188 y}{188} = \frac{- 36}{188}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 36}{188}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común de $- 36$ y $188$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$y = \frac{4 (- 9)}{188}$

Paso 3.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $188$ .

$y = \frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 47}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 47}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 9}{47}$

Paso 3.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{9}{47}$

Paso 4

Enumera todas las soluciones.

$x = - \frac{12}{59} y = - \frac{9}{47}$