Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 + 2 i \\ 4 + 0 i \\ 1 - 3 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 2 i |}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{20}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $0$ por $i$ .

$\sqrt{20 + {| 4 + 0 |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Suma $4$ y $0$ .

$\sqrt{20 + {| 4 |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.13

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\sqrt{20 + 4^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.17

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1 + 9}}^{2}}$

Paso 2.18

Suma $1$ y $9$ .

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 2.19

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 2.19.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 16 + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.19.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.19.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.19.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.19.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.19.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{20 + 16 + 10^{1}}$

Paso 2.19.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{20 + 16 + 10}$

Paso 2.20

Suma $20$ y $16$ .

$\sqrt{36 + 10}$

Paso 2.21

Suma $36$ y $10$ .

$\sqrt{46}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{46}$

Forma decimal:

$6.78232998 \dots$