Álgebra lineal Ejemplos

$x + y - 2 z = 3$ , $2 x + 3 y + z = 13$ , $7 x + 9 y - 4 z = 35$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & 13 - 2 \cdot 3 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Paso 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 9 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 \cdot - 2 & 35 - 7 \cdot 3 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & 10 & 14 \end{array}]$

Paso 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 10 - 2 \cdot 5 & 14 - 2 \cdot 7 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 2 - 5 & 3 - 7 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 7 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x - 7 z = - 4$

$y + 5 z = 7$

Paso 4

Suma $7 z$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 4 + 7 z$

$y + 5 z = 7$

Paso 5

Resta $5 z$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 7 - 5 z$

$x = - 4 + 7 z$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 4 + 7 z, 7 - 5 z, z)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 + 7 z \\ 7 - 5 z \\ z \end{array}]$