Álgebra lineal Ejemplos

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Paso 2

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Paso 3

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Paso 4

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 5

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.1

Resta $2$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 5.2

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 5.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 5.3

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 5.3.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Paso 5.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Paso 5.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{4}{11}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{4}{11}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Paso 5.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Paso 5.5

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 5.5.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Paso 5.5.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Paso 6

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Paso 7

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Paso 8

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$