Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 - 2 i \\ 4 + 4 i \\ 4 - 1 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 - 2 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $4$ y $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{8}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.9.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 2 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{8 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Suma $16$ y $16$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.15.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.15.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.16

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{8 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.17

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{8 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.18

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{8 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.19.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.19.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{1} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.19.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.20

Multiplica $16$ por $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Paso 2.21

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - i |}^{2}}$

Paso 2.22

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.23

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + 1}}^{2}}$

Paso 2.25

Suma $16$ y $1$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{17}}^{2}}$

Paso 2.26

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 2.26.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 32 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.26.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.26.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.26.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.26.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.26.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{1}}$

Paso 2.26.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{8 + 32 + 17}$

Paso 2.27

Suma $8$ y $32$ .

$\sqrt{40 + 17}$

Paso 2.28

Suma $40$ y $17$ .

$\sqrt{57}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{57}$

Forma decimal:

$7.54983443 \dots$