Álgebra lineal Ejemplos

$4 a x - 3 y = 7$ , $- x - b y = 8$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - 1 y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4 x}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4 x}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 x}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{- 3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{y}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{y}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} (- y) & - \frac{1}{y} \cdot - 1 & - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} \cdot 8 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & 1 & \frac{1}{y} & 0 & - \frac{8}{y} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$a - \frac{3 y}{4 x} = \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 4.1

Resta $\frac{7}{4 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$a - \frac{3 y}{4 x} - \frac{7}{4 x} = 0$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $\frac{3 y}{4 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$a - \frac{7}{4 x} = \frac{3 y}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Paso 4.2.2

Suma $\frac{7}{4 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 5.1

Suma $\frac{8}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$b + \frac{x}{y} + \frac{8}{y} = 0$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $\frac{x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$b + \frac{8}{y} = - \frac{x}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Paso 5.2.2

Resta $\frac{8}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}, - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}, x, y)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x} \\ - \frac{x}{y} - \frac{8}{y} \\ x \\ y \end{array}]$