Álgebra lineal Ejemplos

$- 3 x - 4 y = 2$ , $8 y = - 6 x - 4$

Paso 1

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 4 y = 2, 8 y + 6 x = - 4$

Paso 2

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 4 & 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Paso 3

Reduce la fila para eliminar una de las variables.

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Paso 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Paso 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & - 4 - 6 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3}$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{4} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{3}{4} (- x)$

Paso 5.3.2.1.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y = \frac{- 1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Paso 5.3.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Paso 5.4

Reordena $- \frac{1}{2}$ y $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(x, - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2})$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \end{array}]$