Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(2 - x) (- 1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.3

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.2

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1 - x$ por $1$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

Paso 4.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Suma $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ y $0$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Expande $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- x$ por $1$ .

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.5.1

Mueve $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.8.1

Mueve $x^{2}$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.2.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.8.3

Suma $2$ y $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.2.9

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.3

Suma $- x$ y $3 x$ .

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.4

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- x + 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

Paso 5.3

Suma $- 3$ y $1$ .

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

Paso 5.4

Resta $x$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$