Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$\frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$- \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2.2.2

Multiplica $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{5 \cdot 5}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3.2.2

Multiplica $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{5} x))$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5 \cdot 5} - (- \frac{1}{5} x))$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - (- \frac{1}{5} x))$

Paso 4.2.2

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - - \frac{x}{5})$

Paso 4.2.3

Multiplica $- - \frac{x}{5}$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + 1 \frac{x}{5})$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $\frac{x}{5}$ por $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.5

Multiplica $\frac{1}{5} (- \frac{x}{5})$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{x}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.6

Multiplica $\frac{1}{5} (- \frac{1}{25})$ .

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{5 \cdot 25} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $5$ por $25$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Paso 5.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Paso 5.1.8

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25}$ .

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Paso 5.1.8.1

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{25 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $25$ por $5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Paso 5.1.9

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$ .

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Paso 5.1.9.1

Multiplica $\frac{x}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{5 \cdot 5}$

Paso 5.1.9.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{25}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Paso 5.3

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Paso 5.4

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Paso 5.5

Resta $1$ de $- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Paso 5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} - \frac{2}{125}$