Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 + 0 i 2 - 3 i 1 + 2 i 1 + 0 i \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 + 0 i \\ 2 - 3 i \\ 1 + 2 i \\ 1 + 0 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 0 + 0 i |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 + 0 i |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica

0

$0$ por

i

$i$ .

\sqrt{{| 0 + 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 + 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

\sqrt{{| 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

0

$0$ y

0

$0$ es

0

$0$ .

\sqrt{0^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

\sqrt{0 + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Usa la fórmula

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

\sqrt{0 + {\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Eleva

- 3

$- 3$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{4 + 9}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{4 + 9}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Suma

4

$4$ y

9

$9$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{13}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{13}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Reescribe

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ como

13

$13$ .

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Paso 2.9.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ como

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{0 + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{0 + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{0 + 13^{1} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.9.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{0 + 13 + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Usa la fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1 + 2^{2}}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1 + 4}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Suma

$1$ y

$4$ .

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Reescribe

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

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Paso 2.14.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{0 + 13 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 2.14.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{0 + 13 + 5^{1} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.14.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Multiplica

$0$ por

$i$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 + 0 |}^{2}}$

Paso 2.16

Suma

$1$ y

$0$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 |}^{2}}$

Paso 2.17

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + 1^{2}}$

Paso 2.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{0 + 13 + 5 + 1}$

Paso 2.19

Suma

$0$ y

$13$ .

$\sqrt{13 + 5 + 1}$

Paso 2.20

Suma

$13$ y

$5$ .

$\sqrt{18 + 1}$

Paso 2.21

Suma

$18$ y

$1$ .

$\sqrt{19}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{19}$

Forma decimal:

$4.35889894 \dots$