Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 + 4 i \\ 4 + 4 i \\ 2 + 2 i \\ 4 - 2 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 3 + 4 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 16}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $9$ y $16$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Suma $16$ y $16$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.12.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.12.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{25 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.16.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.16.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.16.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.17

Multiplica $16$ por $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.18

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.20

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.21

Suma $4$ y $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.22

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.22.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.22.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.23

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{25 + 32 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.24

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.25

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.26.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.26.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.26.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.27

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Paso 2.28

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.29

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.30

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + 4}}^{2}}$

Paso 2.31

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{20}}^{2}}$

Paso 2.32

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.32.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4 (5)}}^{2}}$

Paso 2.32.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2}}$

Paso 2.33

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.34

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.35

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.36

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.36.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.36.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.36.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.36.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.36.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.36.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{1}}$

Paso 2.36.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5}$

Paso 2.37

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 20}$

Paso 2.38

Suma $25$ y $32$ .

$\sqrt{57 + 8 + 20}$

Paso 2.39

Suma $57$ y $8$ .

$\sqrt{65 + 20}$

Paso 2.40

Suma $65$ y $20$ .

$\sqrt{85}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{85}$

Forma decimal:

$9.21954445 \dots$