Álgebra lineal Ejemplos

$(- 3 - 5 i) - (4 + 2 i)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 - 5 i - 1 \cdot 4 - (2 i)$

Paso 1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 3 - 5 i - 4 - (2 i)$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 3 - 5 i - 4 - 2 i$

Paso 2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1

Resta $4$ de $- 3$ .

$- 7 - 5 i - 2 i$

Paso 2.2

Resta $2 i$ de $- 5 i$ .

$- 7 - 7 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 7$ y $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 7)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 49}$

Paso 6.3

Suma $49$ y $49$ .

$| z | = \sqrt{98}$

Paso 6.4

Reescribe $98$ como $7^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $49$ de $98$ .

$| z | = \sqrt{49 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 7 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 7})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{- 7}{- 7}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{5 π}{4}$ y $| z | = 7 \sqrt{2}$ .

$7 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$