Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

$2$ es la matriz cuadrada

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma

$2$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

$4$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande

$(3 - λ) (6 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$6$ .

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica

$6$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.2.2

Resta

$6 λ$ de

$- 3 λ$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Paso 5.2.1.3

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Paso 5.2.2

Resta

$8$ de

$18$ .

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Paso 5.2.3

Reordena

$- 9 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$