Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande $(1 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2.2

Resta $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - - 1$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 1$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 2$

Paso 5.2.3

Reordena $- 2 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 2$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 2 λ + 2 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$λ = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$λ = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$λ = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$λ = 1 \pm i$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = 1 + i, 1 - i$