Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 0 & 1 3 & - 6 & 3 1 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

$3$ es la matriz cuadrada

$3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma

$0$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma

$3$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma

$3$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma

$0$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica

$0$ por

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Paso 5.3

Multiplica

$0$ por

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Expande

$(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.2.1.1

Multiplica

$- 4$ por

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.3

Multiplica

$- 4$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.2

Suma

$4 λ$ y

$4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

Paso 5.4.2.2

Resta

$1$ de

$16$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Paso 5.4.2.3

Reordena

$8 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Combina los términos opuestos en

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ .

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Paso 5.5.1.1

Suma

$0$ y

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Paso 5.5.1.2

Suma

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ y

$0$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

Paso 5.5.2

Expande

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1

Multiplica

$8$ por

$- 6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.2

Multiplica

$- 6$ por

$15$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.3

Multiplica

$λ$ por

$λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.3.1

Mueve

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.3.2

Multiplica

$λ^{2}$ por

$λ$ .

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Paso 5.5.3.3.2.1

Eleva

$λ$ a la potencia de

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.3.3

Suma

$2$ y

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.6

Multiplica

$- 1$ por

$8$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Paso 5.5.3.7

Multiplica

$15$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

Paso 5.5.4

Resta

$8 λ^{2}$ de

$- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

Paso 5.5.5

Resta

$15 λ$ de

$- 48 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

Paso 5.5.6

Mueve

$- 90$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

Paso 5.5.7

Mueve

$- 63 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

Paso 5.5.8

Reordena

$- 14 λ^{2}$ y

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Factoriza

$- 1$ de

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1.1

Factoriza

$- 1$ de

$- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Paso 7.1.1.2

Factoriza

$- 1$ de

$- 14 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

Paso 7.1.1.3

Factoriza

$- 1$ de

$- 63 λ$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

Paso 7.1.1.4

Reescribe

$- 90$ como

$- 1 (90)$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Paso 7.1.1.5

Factoriza

$- 1$ de

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Paso 7.1.1.6

Factoriza

$- 1$ de

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Paso 7.1.1.7

Factoriza

$- 1$ de

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

$\frac{p}{q}$ , donde

$p$ es un factor de la constante y

$q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.2.2

Obtén todas las combinaciones de

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Paso 7.1.2.3

Sustituye

$- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a

$0$ , por lo que

$- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.2.3.1

Sustituye

$- 3$ en el polinomio.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Paso 7.1.2.3.2

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$3$ .

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Paso 7.1.2.3.3

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

Paso 7.1.2.3.4

Multiplica

$14$ por

$9$ .

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

Paso 7.1.2.3.5

Suma

$- 27$ y

$126$ .

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

Paso 7.1.2.3.6

Multiplica

$63$ por

$- 3$ .

$99 - 189 + 90$

Paso 7.1.2.3.7

Resta

$189$ de

$99$ .

$- 90 + 90$

Paso 7.1.2.3.8

Suma

$- 90$ y

$90$ .

$0$

Paso 7.1.2.4

Como

$- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por

$λ + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

Paso 7.1.2.5

Divide

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ por

$λ + 3$ .

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Paso 7.1.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

Paso 7.1.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo

$λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

Paso 7.1.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Paso 7.1.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

$λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Paso 7.1.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Paso 7.1.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Paso 7.1.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo

$11 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Paso 7.1.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Paso 7.1.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

$11 λ^{2} + 33 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Paso 7.1.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

Paso 7.1.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Paso 7.1.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo

$30 λ$ por el término de mayor orden en el divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Paso 7.1.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

Paso 7.1.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

$30 λ + 90$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

Paso 7.1.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

Paso 7.1.2.5.16

Como el resto es

$0$ , la respuesta final es el cociente.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

Paso 7.1.2.6

Escribe

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ como un conjunto de factores.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza.

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Paso 7.1.3.1

Factoriza

$λ^{2} + 11 λ + 30$ con el método AC.

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Paso 7.1.3.1.1

Factoriza

$λ^{2} + 11 λ + 30$ con el método AC.

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Paso 7.1.3.1.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

$c$ y cuya suma sea

$b$ . En este caso, cuyo producto es

$30$ y cuya suma es

$11$ .

$5, 6$

Paso 7.1.3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

Paso 7.1.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

Paso 7.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

Paso 7.3

Establece

$λ + 3$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

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Paso 7.3.1

Establece

$λ + 3$ igual a

$0$ .

$λ + 3 = 0$

Paso 7.3.2

Resta

$3$ de ambos lados de la ecuación.

$λ = - 3$

Paso 7.4

Establece

$λ + 5$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece

$λ + 5$ igual a

$0$ .

$λ + 5 = 0$

Paso 7.4.2

Resta

$5$ de ambos lados de la ecuación.

$λ = - 5$

Paso 7.5

Establece

$λ + 6$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

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Paso 7.5.1

Establece

$λ + 6$ igual a

$0$ .

$λ + 6 = 0$

Paso 7.5.2

Resta

$6$ de ambos lados de la ecuación.

$λ = - 6$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ verdadera.

$λ = - 3, - 5, - 6$