Álgebra lineal Ejemplos

$A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $- 3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Paso 1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Expande $(2 - λ) (2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.2

Resta $2 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $4 - 4 λ + λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.3

Mueve $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.4

Reordena $- 4 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$

Paso 1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.1

Combina los términos opuestos en $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$ .

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Paso 1.5.5.1.1

Suma $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$

Paso 1.5.5.1.2

Suma $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$

Paso 1.5.5.2

Expande $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.3.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.2

Multiplica $- 4 λ$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.3.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 1.5.5.3.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ$

Paso 1.5.5.4

Suma $λ^{2}$ y $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Paso 1.5.5.5

Resta $4 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ + 4 - λ^{3}$

Paso 1.5.5.6

Mueve $4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 4$

Paso 1.5.5.7

Mueve $- 8 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} - 8 λ + 4$

Paso 1.5.5.8

Reordena $5 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.7.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 1.7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 1.7.1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.7.1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.4

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.6

Suma $- 1$ y $5$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.7

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$4 - 8 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.8

Resta $8$ de $4$ .

$- 4 + 4$

Paso 1.7.1.1.3.9

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 1.7.1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4}{λ - 1}$

Paso 1.7.1.1.5

Divide $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ por $λ - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$5 λ^{2}$

$8 λ$

$4$

Paso 1.7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$

Paso 1.7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- λ^{3} + λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Paso 1.7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Paso 1.7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$4 λ$

Paso 1.7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 λ^{2} - 4 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$

Paso 1.7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$

Paso 1.7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Paso 1.7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Paso 1.7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Paso 1.7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 λ + 4$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Paso 1.7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Paso 1.7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- λ^{2} + 4 λ - 4$

Paso 1.7.1.1.6

Escribe $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ como un conjunto de factores.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 1.7.1.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 (λ) - 4) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (2 + 2) λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 2 λ + 2 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 2 λ) + 2 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(λ - 1) (λ (- λ + 2) - 2 (- λ + 2)) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- λ + 2$ .

$(λ - 1) ((- λ + 2) (λ - 2)) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 1$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 1$ igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 1.7.4

Establece $- λ + 2$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $- λ + 2$ igual a $0$ .

$- λ + 2 = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve $- λ + 2 = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- λ = - 2$

Paso 1.7.4.2.2

Divide cada término en $- λ = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.7.4.2.2.1

Divide cada término en $- λ = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.7.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2.2

Divide $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.7.4.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$λ = 2$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$ verdadera.

$λ = 1, 2$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplify each element.

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Paso 3.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.3

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.4

Resta $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.5

Resta $1$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.6

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.7

Resta $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.8

Resta $0$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.9

Resta $1$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{1}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - \frac{1}{8} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{8} z = 0$

$y + \frac{1}{8} z = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{8} \\ - \frac{z}{8} \\ z \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Resta $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Resta $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $- 3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma $5$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Resta $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$