Álgebra lineal Ejemplos

26 a + 8 b = 28

$26 a + 8 b = 28$ ,

8 a + 3 b = 9

$8 a + 3 b = 9$

Paso 1

Obtén la forma

A X = B

$A X = B$ del sistema de ecuaciones.

[\begin{matrix} 26 & 8 8 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 289 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la inversa de la matriz de coeficientes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 2.2

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

26 \cdot 3 - 8 \cdot 8

$26 \cdot 3 - 8 \cdot 8$

Paso 2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Multiplica

26

$26$ por

3

$3$ .

78 - 8 \cdot 8

$78 - 8 \cdot 8$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica

- 8

$- 8$ por

8

$8$ .

78 - 64

$78 - 64$

78 - 64

$78 - 64$

Paso 2.2.2.2

Resta

64

$64$ de

78

$78$ .

14

$14$

14

$14$

14

$14$

Paso 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{14} [\begin{matrix} 3 & - 8 - 8 & 26 \end{matrix}]

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 3 & - 8 \\ - 8 & 26 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Combina

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ y

3

$3$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Factoriza

2

$2$ de

14

$14$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.2.2

Factoriza

2

$2$ de

- 8

$- 8$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.3

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{- 4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.5

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.5.1

Factoriza

$2$ de

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.5.2

Factoriza

$2$ de

$- 8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.6

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{- 4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.8

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.8.1

Factoriza

$2$ de

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot 26 \end{array}]$

Paso 2.6.8.2

Factoriza

$2$ de

$26$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Paso 2.6.8.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Paso 2.6.8.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \cdot 13 \end{array}]$

Paso 2.6.9

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}]$

Paso 3

Multiplica por la izquierda ambos lados de la ecuación de matriz por la matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Paso 4

Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a

$1$ todo el tiempo.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Paso 5.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} \cdot 28 - \frac{4}{7} \cdot 9 \\ - \frac{4}{7} \cdot 28 + \frac{13}{7} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 5.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica

$- 16$ por

$7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{- 112 + 117}{7} \end{array}]$

Paso 5.3.2

Suma

$- 112$ y

$117$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Paso 6

Simplifica los lados izquierdo y derecho.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Paso 7

Obtén la solución.

$a = \frac{6}{7}$

$b = \frac{5}{7}$