Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

[\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

$3$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande

$(2 - λ) (2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.2

Resta

$2 λ$ de

$- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Paso 5.2.2

Resta

$3$ de

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Paso 5.2.3

Reordena

$- 4 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores

$a = 1$ ,

$b = - 4$ y

$c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva

$- 4$ a la potencia de

$2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta

$4$ de

$16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe

$12$ como

$2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Factoriza

$4$ de

$12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$