Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande $(2 - λ) (2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.2

Resta $2 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Paso 5.2.3

Reordena $- 4 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$