Álgebra lineal Ejemplos

Hallar la inversa [[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
[123257379]123257379
Paso 1
Find the determinant.
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Paso 1.1
Choose the row or column with the most 00 elements. If there are no 00 elements choose any row or column. Multiply every element in row 11 by its cofactor and add.
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Paso 1.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|∣ ∣+++++∣ ∣
Paso 1.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Paso 1.1.3
The minor for a11a11 is the determinant with row 11 and column 11 deleted.
|5779|5779
Paso 1.1.4
Multiply element a11a11 by its cofactor.
1|5779|15779
Paso 1.1.5
The minor for a12a12 is the determinant with row 11 and column 22 deleted.
|2739|2739
Paso 1.1.6
Multiply element a12a12 by its cofactor.
-2|2739|22739
Paso 1.1.7
The minor for a13a13 is the determinant with row 11 and column 33 deleted.
|2537|2537
Paso 1.1.8
Multiply element a13a13 by its cofactor.
3|2537|32537
Paso 1.1.9
Add the terms together.
1|5779|-2|2739|+3|2537|1577922739+32537
1|5779|-2|2739|+3|2537|1577922739+32537
Paso 1.2
Evalúa |5779|5779.
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Paso 1.2.1
El determinante de una matriz 2×22×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cbabcd=adcb.
1(59-77)-2|2739|+3|2537|1(5977)22739+32537
Paso 1.2.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.2.2.1.1
Multiplica 55 por 99.
1(45-77)-2|2739|+3|2537|1(4577)22739+32537
Paso 1.2.2.1.2
Multiplica -77 por 77.
1(45-49)-2|2739|+3|2537|1(4549)22739+32537
1(45-49)-2|2739|+3|2537|1(4549)22739+32537
Paso 1.2.2.2
Resta 4949 de 4545.
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
Paso 1.3
Evalúa |2739|2739.
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Paso 1.3.1
El determinante de una matriz 2×22×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cbabcd=adcb.
1-4-2(29-37)+3|2537|142(2937)+32537
Paso 1.3.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.3.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.3.2.1.1
Multiplica 2 por 9.
1-4-2(18-37)+3|2537|
Paso 1.3.2.1.2
Multiplica -3 por 7.
1-4-2(18-21)+3|2537|
1-4-2(18-21)+3|2537|
Paso 1.3.2.2
Resta 21 de 18.
1-4-2-3+3|2537|
1-4-2-3+3|2537|
1-4-2-3+3|2537|
Paso 1.4
Evalúa |2537|.
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Paso 1.4.1
El determinante de una matriz 2×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb.
1-4-2-3+3(27-35)
Paso 1.4.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.4.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.2.1.1
Multiplica 2 por 7.
1-4-2-3+3(14-35)
Paso 1.4.2.1.2
Multiplica -3 por 5.
1-4-2-3+3(14-15)
1-4-2-3+3(14-15)
Paso 1.4.2.2
Resta 15 de 14.
1-4-2-3+3-1
1-4-2-3+3-1
1-4-2-3+3-1
Paso 1.5
Simplifica el determinante.
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Paso 1.5.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.5.1.1
Multiplica -4 por 1.
-4-2-3+3-1
Paso 1.5.1.2
Multiplica -2 por -3.
-4+6+3-1
Paso 1.5.1.3
Multiplica 3 por -1.
-4+6-3
-4+6-3
Paso 1.5.2
Suma -4 y 6.
2-3
Paso 1.5.3
Resta 3 de 2.
-1
-1
-1
Paso 2
Since the determinant is non-zero, the inverse exists.
Paso 3
Set up a 3×6 matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.
[123100257010379001]
Paso 4
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
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Paso 4.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
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Paso 4.1.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1231002-215-227-230-211-200-20379001]
Paso 4.1.2
Simplifica R2.
[123100011-210379001]
[123100011-210379001]
Paso 4.2
Perform the row operation R3=R3-3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
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Paso 4.2.1
Perform the row operation R3=R3-3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[123100011-2103-317-329-330-310-301-30]
Paso 4.2.2
Simplifica R3.
[123100011-210010-301]
[123100011-210010-301]
Paso 4.3
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
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Paso 4.3.1
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[123100011-2100-01-10-1-3+20-11-0]
Paso 4.3.2
Simplifica R3.
[123100011-21000-1-1-11]
[123100011-21000-1-1-11]
Paso 4.4
Multiply each element of R3 by -1 to make the entry at 3,3 a 1.
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Paso 4.4.1
Multiply each element of R3 by -1 to make the entry at 3,3 a 1.
[123100011-210-0-0--1--1--1-11]
Paso 4.4.2
Simplifica R3.
[123100011-21000111-1]
[123100011-21000111-1]
Paso 4.5
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
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Paso 4.5.1
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
[1231000-01-01-1-2-11-10+100111-1]
Paso 4.5.2
Simplifica R2.
[123100010-30100111-1]
[123100010-30100111-1]
Paso 4.6
Perform the row operation R1=R1-3R3 to make the entry at 1,3 a 0.
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Paso 4.6.1
Perform the row operation R1=R1-3R3 to make the entry at 1,3 a 0.
[1-302-303-311-310-310-3-1010-30100111-1]
Paso 4.6.2
Simplifica R1.
[120-2-33010-30100111-1]
[120-2-33010-30100111-1]
Paso 4.7
Perform the row operation R1=R1-2R2 to make the entry at 1,2 a 0.
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Paso 4.7.1
Perform the row operation R1=R1-2R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-202-210-20-2-2-3-3-203-21010-30100111-1]
Paso 4.7.2
Simplifica R1.
[1004-31010-30100111-1]
[1004-31010-30100111-1]
[1004-31010-30100111-1]
Paso 5
The right half of the reduced row echelon form is the inverse.
[4-31-30111-1]
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
{
{
}
}
A
A
7
7
8
8
9
9
B
B
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
π
π
1
1
2
2
3
3
-
-
+
+
÷
÷
<
<
!
!
,
,
0
0
.
.
%
%
=
=
 [x2  12  π  xdx ]