Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 7 & 5 & 0 4 & 5 & 8 0 & - 1 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & 8 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica

$0$ por

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$5$ .

$7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

$- (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$8$ .

$7 (25 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 8$ .

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.2

Suma

$25$ y

$8$ .

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 4

Evalúa

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot 33 - 5 (4 \cdot 5 + 0 \cdot 8) + 0$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

$4$ por

$5$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0 \cdot 8) + 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica

$0$ por

$8$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0$

Paso 4.2.2

Suma

$20$ y

$0$ .

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica

$7$ por

$33$ .

$231 - 5 \cdot 20 + 0$

Paso 5.1.2

Multiplica

$- 5$ por

$20$ .

$231 - 100 + 0$

Paso 5.2

Resta

$100$ de

$231$ .

$131 + 0$

Paso 5.3

Suma

$131$ y

$0$ .

$131$