Álgebra lineal Ejemplos

$2 x + 3 y - z = 2$ $3 x + 5 y + z = 4$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 4 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 1 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $2$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $2$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 2.4

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.4.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x - 8 z = - 2$

$y + 5 z = 2$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 2 + 8 z, 2 - 5 z, z)$